大学物理-电磁学

Written by: Joyce-Peng-GitHub

大学物理-电磁学

静电场

Coulomb定律

电荷

Coulomb定律

相对于惯性系观察，真空中两个静止点电荷之间的相互作用力（Coulomb力）的大小与这两个电荷所带电荷量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比；作用力的方向沿着这两个点电荷的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。

F⃗1,2=kq1q2r1,22r^1,2.\vec{F}_{1,2}=k\frac{q_1q_2}{r_{1,2}^2}\hat{r}_{1,2}.

在国际单位制下，静电力常量

k=14πε0,k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},

其中ε0\varepsilon_0为真空介电常数。

只要施力电荷静止（即电场不随时间变化），受力电荷即使运动，其受到的Coulomb力仍然符合上述表达式。

电场力的叠加原理

电场 电场强度

电场

电场强度

定义电场强度

E⃗=F⃗q,\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q},

其中F⃗\vec{F}是试验电荷所受Coulomb力，qq是试验电荷的电荷量。该矢量与试验电荷的大小、正负均无关。

电场强度的计算

点电荷

若真空中有一个静止的点电荷q0q_0，则相对该点电荷r⃗\vec{r}处的场强

E⃗=14πε0Qr2r^.\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}\hat{r}.
点电荷系
电偶极子

真空中有一对等量异号点电荷±q\pm q，从−q-q指向+q+q的有向线段为l⃗\vec{l}，定义电偶极矩

p⃗=ql⃗.\vec{p}=q\vec{l}.
电荷连续分布的带电体
均匀带电细棒

在平面直角坐标系xOyxOy中，直线x=rx=r上有一电荷线密度为常量λ\lambda的带电细棒，下端、上端的角位置分别为θ1,θ2\theta_1,\theta_2，则原点处的场强为

E⃗=λ4πε0r(−sin⁡θ,cos⁡θ)∣θ1θ2.\vec{E}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0r}(-\sin\theta,\cos\theta)|_{\theta_1}^{\theta_2}.
均匀带电细圆环

设细圆环的电荷线密度为常量λ\lambda，半径为RR，则轴线上离圆心r⃗\vec{r}处的电场强度

E⃗=Rλ2ε0(r2+R2)32r⃗.\vec{E}=\frac{R\lambda}{2\varepsilon_0(r^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}\vec{r}.

特别地，当r≫Rr\gg R时，近似有

E⃗≈Rλ2ε0r2r^.\vec{E}\approx\frac{R\lambda}{2\varepsilon_0r^2}\hat{r}.
均匀带电薄圆盘

设薄圆盘的电荷面密度为常量σ\sigma，半径为RR，则轴线上离圆心r⃗\vec{r}处的电场强度

E⃗=σ2ε0(1−rr2+R2)r^.\vec{E}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{r}{\sqrt{r^2+R^2}}\right)\hat{r}.

如果取一侧为正方向，则

E=σ2ε0(sgnr−rr2+R2)E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\mathop{\mathrm{sgn}}r-\frac{r}{\sqrt{r^2+R^2}}\right)

静电场的Gauss定理

电场线

电场强度通量

设面元dS⃗\mathrm{d}\vec{S}处的电场强度为E⃗\vec{E}，则该面元的电场强度通量定义为

dΦe=E⃗⋅dS⃗.\mathrm{d}\varPhi_{\mathrm{e}}=\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}.

Gauss定理

设区域V⊆R3V\subseteq\mathbb{R}^3中电荷体密度为ρ\rho，则

∮∂VE⃗⋅dS⃗=1ε0∫Vρ dV,\oint_{\partial V}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho\ \mathrm{d}V,

即静电场是有源场。

利用Gauss定理求静电场的分布

均匀带电球面

球面内电场为0⃗\vec{0}，球面外的电场分布等同于将球面替换为球心处等电荷量的点电荷的电场分布。

均匀带电球体
无限长带电直线
无限长带电圆柱面
无限大带电平面

设无限大平面的电荷面密度为常量σ\sigma，则两侧的场强大小均为

E=σ2ε0.E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.

静电场的环路定理 电势

静电场的环路定理

设l⊆R3l\subseteq\mathbb{R}^3是一条闭合曲线，则

∮lE⃗⋅dl⃗=0,\oint_l\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=0,

即静电场是无旋场。

静电势能

设受力电荷的电荷量为qq，规定电势能零点OO，则空间中任何一点P∈R3P\in\mathbb{R}^3处的电势能

Ep=−∫OP⌢qE⃗⋅dl⃗,E_\mathrm{p}=-\int_{\overset{\frown}{OP}}q\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l},

其中OP⌢\overset{\frown}{OP}是任意一条以OO为起点、以PP为终点的曲线。

电势和电势差

定义电势

φ=Epq,\varphi=\frac{E_{\mathrm{p}}}{q},

于是

φ=−∫OP⌢E⃗⋅dl⃗.\varphi=-\int_{\overset{\frown}{OP}}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}.

在静电场中，任意两点间的电势差与电势零点的选择无关。

电势的计算

等势面

等势面与电场线处处正交。等势面越密集，电场强度越大。

电势梯度

E⃗=−∇φ.\vec{E}=-\nabla\varphi.

静电场中的电偶极子

电偶极子在外电场中所受的力

电偶极矩为p⃗\vec{p}的电偶极子在匀强电场E⃗\vec{E}中相对于其中心点所受的力矩

M⃗=p⃗×E⃗.\vec{M}=\vec{p}\times\vec{E}.

电偶极子在外电场中的电势

无论如何选取电势零点，电偶极矩为p⃗\vec{p}的电偶极子在匀强电场E⃗\vec{E}中的电势能为

Ep=−p⃗⋅E⃗.E_{\mathrm{p}}=-\vec{p}\cdot\vec{E}.

静电场中的导体和电介质

静电场中的导体

导体的静电平衡条件

仅考虑各向同性的均匀金属导体。

静电平衡时导体上电荷的分布

静电屏蔽

对于孤立带空腔导体，导体外表面电荷产生的电场和外电场都不影响空腔内电场分布，但导体外的电场分布会受空腔内带电体的影响。腔内总电荷量一定时，导体对外部产生的电场与腔内电荷分布无关，因为内表面电荷始终将腔内电荷抵消，外表面电荷量始终等于腔内总电荷量。

接地带空腔导体可以彻底隔离空腔内和导体外电场，使之互不影响。

有导体存在时静电场量的计算

静电技术在实际中的应用

静电场中的电介质

电介质对电场的影响

电介质的极化

外加电场时，电介质内部任意区域内净电荷量仍为00，但表面会出现束缚电荷，称为电介质被极化。

电极化强度

定义电极化强度为单位体积内分子电偶极矩的矢量和，即

P⃗=d(∑p⃗)dV.\vec{P}=\frac{\mathrm{d}(\sum\vec{p})}{\mathrm{d}V}.

设每个分子的感生电矩都为p⃗\vec{p}，分子数的体密度为ρ\rho，则

P⃗=np⃗.\vec{P}=n\vec{p}.

若电介质中各点的电极化强度都相等，则称该电介质的极化是均匀的，否则称为不均匀的。

电介质中一点的总电场E⃗\vec{E}由外电场E⃗0\vec{E}_0和束缚电荷激发的电场E⃗′\vec{E}'叠加而成，即

E⃗=E⃗0+E⃗′.\vec{E}=\vec{E}_0+\vec{E}'.

在各向同性的电介质中，当**E⃗\vec{E}不太强**时，P⃗\vec{P}正比于E⃗\vec{E}，即

P⃗=χeε0E⃗,\vec{P}=\chi_{\mathrm{e}}\varepsilon_0\vec{E},

其中系数χe\chi_{\mathrm{e}}称为电极化率。引入辅助量

D⃗=ε0E⃗+P⃗,\vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P},

称为电位移矢量。代入P⃗=χeε0E⃗\vec{P}=\chi_{\mathrm{e}}\varepsilon_0\vec{E}得

D⃗=(χe+1)ε0E⃗,\vec{D}=(\chi_{\mathrm{e}}+1)\varepsilon_0\vec{E},

于是可以定义相对介电常数

εr=χe+1\varepsilon_{\mathrm{r}}=\chi_{\mathrm{e}}+1

和介电常数

ε=εrε0,\varepsilon=\varepsilon_{\mathrm{r}}\varepsilon_0,

于是电位移矢量又可以表示为

D⃗=εE⃗=εrε0E⃗,\vec{D}=\varepsilon\vec{E}=\varepsilon_{\mathrm{r}}\varepsilon_0\vec{E},

电极化强度又可以表示为

P⃗=(εr−1)ε0E⃗.\vec{P}=(\varepsilon_{\mathrm{r}}-1)\varepsilon_0\vec{E}.

由电荷守恒定律可知，任取电介质内的区域VV，有

∮∂VP⃗⋅dS⃗=−∫Vρ′ dV,\oint_{\partial V}\vec{P}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=-\int_V\rho'\ \mathrm{d}V,

其中ρ′\rho'是束缚电荷的体密度。对于各向同性的均匀电介质，其内部束缚电荷体密度处处为00，束缚电荷仅出现在其表面；非均匀或各向异性的电介质内部可能有束缚电荷。

由此可以导出电介质表面的束缚电荷面密度

σ′=P⃗⋅n⃗,\sigma'=\vec{P}\cdot\vec{n},

其中n⃗\vec{n}是表面的外法线方向。

有介质时的Gauss定理

设区域V⊆R3V\subseteq\mathbb{R}^3中自由电荷体密度为ρ\rho，则

∮∂VD⃗⋅dS⃗=∫Vρ dV.\oint_{\partial V}\vec{D}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\int_V\rho\ \mathrm{d}V.

有电介质时Gauss定理的应用

静电场的边界条件

由静电场的环路定理可推出电介质分界面处电场强度的切向分量连续，由电位移矢量的Gauss定理可推出电介质分界面处电位移矢量的法向分量连续。由此可得D⃗\vec{D}的折射定律

tan⁡itan⁡r=εiεr.\frac{\tan i}{\tan r}=\frac{\varepsilon_i}{\varepsilon_r}.

电容 电容器

孤立导体的电容

孤立导体在静电平衡时是等势体，无论其电荷分布如何，当其形状、大小一定时，其相对于无穷远处的电势φ\varphi正比于其总电荷量qq，故定义电容为该比例系数，即

C=qφ.C=\frac{q}{\varphi}.

电容器的电容

由导体壳和其腔内以电介质隔开的另一个导体组成的系统称为电容器，组成电容器的两个导体称为电容器的极板，内导体的表面和导体壳的内表面是电容器的两个极板面。电容器带电时，两个极板面分别带有等量异号电荷±q\pm q，它们之间的电势差UU也成为电容器的电压。因为qq总与UU成正比且比例系数对于给定的电容器是常数，故定义其电容

C=qU.C=\frac{q}{U}.

理想电容器的电容只与电容器的几何因素有关。

实际中对于电容器的屏蔽性要求并没有理想的那样苛刻，此时电容器边缘存在电场泄露，称为边缘效应。边缘效应会导致qq并非严格正比于UU。

电容器的连接

电容的计算及应用

平行板电容器

介电常数为ε\varepsilon、极板间距为dd、极板正对面积为SS的理想平行板电容器（忽略边缘效应）的电容为

C=εSd.C=\frac{\varepsilon S}{d}.
圆柱形电容器

半径分别为R1,R2R_1,R_2、长为ll的导体圆柱壁套在一起，中间填充介电常数为ε\varepsilon的电介质，形成一个圆柱形电容器。忽略边缘效应时，其电容为

C=2πεlln⁡R2R1.C=\frac{2\pi\varepsilon l}{\ln\frac{R_2}{R_1}}.
球形电容器

半径分别为R1,R2R_1,R_2的导体球面同心地套在一起，中间填充介电常数为ε\varepsilon的电介质，形成一个球形电容器，其电容为

C=4πε1R1−1R2.C=\frac{4\pi\varepsilon}{\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}}.

静电场的能量

电荷系的静电能

Ep=12∫qφ dq.E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2}\int_q\varphi\ \mathrm{d}q.

电容器的能量

Ep=12CU2.E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2}CU^2.

静电场的能量 能量密度

在电介质中，静电场的能量密度

ρEp=12D⃗⋅E⃗.\rho_{E_{\mathrm{p}}}=\frac{1}{2}\vec{D}\cdot\vec{E}.

恒定磁场

恒定电流

电流 电流密度

电流是由大量带电粒子定向移动形成的，这些形成电流的带电粒子被称为载流子。

描述电流强弱的物理量是电流(强度)，定义为单位时间内通过导体某一截面的电荷量，即

I=dqdt.I=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}.

为了细致描述电流在导体中各点的分布（特别是大块导体中电流不均匀的情况），定义电流密度

J⃗=ρqv⃗D,\vec{J}=\rho_{q}\vec{v}_{\mathrm{D}},

其中ρq\rho_q是载流子的电荷体密度，v⃗D\vec{v}_{\mathrm{D}}是载流子移动的平均速度，称为漂流速度。于是

dI=J⃗⋅dS⃗.\mathrm{d}I=\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}.

根据电荷守恒定律可得电流的连续性方程

∮SJ⃗⋅dS⃗=−dqIdt,\oint_S\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=-\frac{\mathrm{d}q_{\mathrm{I}}}{\mathrm{d}t},

其中qIq_{\mathrm{I}}是闭合曲面SS内的总电荷量。恒定电流对任意闭合曲面SS有

∮SJ⃗⋅dS⃗=0.\oint_S\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=0.

Ohm定律的微分形式

定义电导率为电阻率的倒数，即

σ=1ρ,\sigma=\frac{1}{\rho},

于是对于各向同性的导体，有Ohm定律I=URI=\frac{U}{R}的微分形式

J⃗=σE⃗.\vec{J}=\sigma\vec{E}.

电源和电动势

迫使电荷逆着电场力方向运动的其他类型力F⃗N\vec{F}_{\mathrm{N}}统称为非静电力。类比静电力，定义非静电场场强

E⃗N=F⃗Nq.\vec{E}_{\mathrm{N}}=\frac{\vec{F}_{\mathrm{N}}}{q}.

非静电力把单位正电荷经电源内部从负极移动到正极所做的功称为电源电动势，即

E=∫−+E⃗N⋅dl⃗,\mathscr{E}=\int_-^+\vec{E}_{\mathrm{N}}\cdot\mathrm{d}\vec{l},

若非静电力存在于整个回路ll，则

E=∮lE⃗N⋅dl⃗.\mathscr{E}=\oint_l\vec{E}_{\mathrm{N}}\cdot\mathrm{d}\vec{l}.

电动势是反映非静电力做功本领的物理量，完全取决于电源本身的性质，而与外电路的性质无关。电动势是标量，但为了方便起见，常把电源内部电势升高的方向（从负极到正极）规定为电动势的方向。

磁场 磁感应强度

磁的基本现象

所有已知的磁铁都有两个磁极。将磁铁中指向地理北方的那一极称为北极，将磁铁中指向地理南方的那一极称为南极。因此地球磁场南极在地理北极附近，磁场北极在地理南极附近。地球的磁场分布与条形磁铁类似，条形磁铁与地轴间的夹角称为磁偏角。

磁场与磁感应强度

定义某处磁场的方向为小磁针在该处北极所指的方向，定义磁感应强度的方向为磁场的方向。

在磁场中运动的电荷会受到力的作用，称为磁力。实验发现，对于同一处磁场，运动电荷受的力正比于其电荷量、速度和速度方向与磁场方向所成角的正弦值的乘积，将此比例系数定义为磁场的磁感应强度的大小。于是有磁力

F⃗m=qv⃗×B⃗,\vec{F}_{\mathrm{m}}=q\vec{v}\times\vec{B},

由此式表示的磁力也称为Lorentz力。

磁感应线

Biot-Savart定律

Biot-Savart定律

对于一段任意形状的载流导线，设其电流为II，在其上任取一段线元矢量dl⃗\mathrm{d}\vec{l}，称Idl⃗I\mathrm{d}\vec{l}为电流元。

Biot-Savart定律：真空中电流元Idl⃗I\mathrm{d}\vec{l}对相对于它r⃗\vec{r}处产生的磁感应强度

dB⃗=μ04πIdl⃗×r^r2,\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\times\hat{r}}{r^2},

其中常数μ0=4π×10−7 N/A2\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}称为真空磁导率。

Biot-Savart定律的应用

载流直导线的磁场

设空间直角坐标系OxyzOxyz中，平面xOyxOy内，直线x=rx=r处有一段的直导线，其两端的角位置分别为θ1,θ2\theta_1,\theta_2，从θ1\theta_1处流向θ2\theta_2处的电流强度恒为II。于是OO处的磁感应强度为

B⃗=(0,0,Iμ04πrsin⁡θ∣θ1θ2).\vec{B}=\left(0,0,\frac{I\mu_0}{4\pi r}\sin\theta|^{\theta_2}_{\theta_1}\right).
载流圆线圈轴线上的磁场

半径为RR、电流大小恒为II的单匝载流圆线圈在其轴线上距离圆心rr处产生的磁感应强度大小

B=IR2μ02(r2+R2)32,B=\frac{IR^2\mu_0}{2(r^2+R^2)^{\frac{3}{2}}},

以II的正方向的右手螺旋方向为正方向。特别地，当r≫Rr\gg R时，近似有

B≈IR2μ02r3.B\approx\frac{IR^2\mu_0}{2r^3}.
磁矩

根据Ampère的分子电流假说，每个分子都可以视为环形电流，分子圆电流即为基元磁体。为描述圆电流的磁学性质，引入磁(偶极)矩。

对于平面区域S⊆R3S\subseteq\mathbb{R}^3，设其边界∂S\partial S上电流总强度为II（若有NN匝大小为I0I_0的电流，则I=NI0I=NI_0），定义其磁矩为

m⃗=IS⃗,\vec{m}=I\vec{S},

于是圆电流在轴线上距离为rr处激发的磁感应强度近似为

B⃗≈μ0m⃗2πr3.\vec{B}\approx\frac{\mu_0\vec{m}}{2\pi r^3}.

我们把圆电流也称为磁偶极子。

载流直螺线管轴线上的磁场

匝数线密度为常量λN\lambda_N、半径为RR的载流螺线管的轴线两端分别在xx轴上坐标x1,x2x_1,x_2处，设电流正方向为从x1x_1到x2x_2的右手螺旋方向，电流强度为II，则轴线上x=0x=0处的磁感应强度为

B=12Iμ0λNxx2+R2∣x1x2.B=\frac{1}{2}I\mu_0\lambda_N\left.\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\right|^{x_2}_{x_1}.

运动电荷产生的磁场

电荷量为qq、速度为v⃗\vec{v}的电荷在相对于它r⃗\vec{r}处产生的磁感应强度

B⃗=μ04πqv⃗×r^r2.\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\vec{v}\times\hat{r}}{r^2}.

磁场的Gauss定理和Ampère环路定理

磁通量 磁场的Gauss定理

磁场的Gauss定理：

∮SB⃗⋅dS⃗=0,\oint_S\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=0,

即磁场是无源场。

Ampère环路定理

设曲面S⊆R3S\subseteq\mathbb{R}^3，则

∮∂SB⃗⋅dl⃗=μ0∫SJ⃗⋅dS⃗.\oint_{\partial S}\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=\mu_0\int_S\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}.

Ampère环路定理的应用

无限长均匀载流圆柱面的磁场分布
电流在截面上均匀分布的无限长圆柱体的磁场分布
无限大平面电流的磁场分布
无限长均匀密绕载流直螺线管的磁场分布

匝数线密度为常量λN\lambda_N、半径为RR、电流为II的无限长载流螺线管中磁场均匀分布，磁感应强度大小

B=Iμ0λN.B=I\mu_0\lambda_N.
均匀密绕载流螺绕环的磁场分布

匝数为NN、电流为II的均匀密绕载流螺绕环中，距离中心直轴半径为rr处的磁感应强度平行于赤道面并垂直于半径，大小为

B=INμ02πr.B=\frac{IN\mu_0}{2\pi r}.

磁场对载流导线的作用

Ampère力

电流元Idl⃗I\mathrm{d}\vec{l}在磁感应强度为B⃗\vec{B}的磁场中所受磁力的合力为

dF⃗m=Idl⃗×B⃗,\mathrm{d}\vec{F}_{\mathrm{m}}=I\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{B},

称为Ampère力。

磁场对载流线圈的作用

磁矩为m⃗\vec{m}的线圈在磁感应强度为B⃗\vec{B}的磁场中受到的相对于其几何中心的磁力矩

M⃗=m⃗×B⃗.\vec{M}=\vec{m}\times\vec{B}.

磁场对运动电荷的作用

Lorentz力

带电粒子在磁场中的运动

应用实例

速度选择器
Thomson实验
质谱仪
回旋加速器
霍尔效应

磁场中的磁介质

磁介质对磁场的影响

类比电介质中的电场，磁介质中的总磁场

B⃗=B⃗0+B⃗′,\vec{B}=\vec{B}_0+\vec{B}',

其中B⃗0\vec{B}_0为原/外磁场，B⃗′\vec{B}'是磁介质产生的附加磁场。在各向同性的磁介质均匀充满磁场时，

B⃗=μrB⃗0,\vec{B}=\mu_{\mathrm{r}}\vec{B}_0,

其中μr\mu_{\mathrm{r}}称为相对磁导率。真空的相对磁导率为11。

磁介质的极化

磁化强度矢量M⃗\vec{M}与磁化电流

可以用单位体积内分子磁矩的矢量和来表示磁介质磁化的强弱程度，定义为磁化强度矢量

M⃗=d(∑m⃗)dV.\vec{M}=\frac{\mathrm{d}(\sum\vec{m})}{\mathrm{d}V}.

磁化强度的方向在顺磁质中与外磁场相同，在抗磁质中与外磁场相反。

均匀磁化的磁介质内部分子电流相互抵消，只有表面上形成环形电流，称为*磁化/束缚电流*。磁化电流的面密度（单位宽度内通过的电流）

K⃗′=M⃗×n⃗,\vec{K}'=\vec{M}\times\vec{n},

其中n⃗\vec{n}为表面的法线方向。曲面S⊆R3S\subseteq\mathbb{R}^3内总的磁化电流

I′=∮∂SM⃗⋅dl⃗.I'=\oint_{\partial S}\vec{M}\cdot\mathrm{d}\vec{l}.

有介质时的Ampère环路定理 磁场强度矢量H⃗\vec{H}

定义磁场强度

H⃗=B⃗μ0−M⃗.\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}.

介质中的Ampère环路定理：设曲面S⊆R3S\subseteq\mathbb{R}^3，则

∮∂SH⃗⋅dl⃗=∫SJ⃗⋅dS⃗.\oint_{\partial S}\vec{H}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=\int_S\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}.

在各向同性的均匀磁介质中，

M⃗=χmH⃗,\vec{M}=\chi_{\mathrm{m}}\vec{H},

其中系数χm\chi_{\mathrm{m}}称为磁介质的磁化率。于是

B⃗=(χm+1)μ0H⃗,\vec{B}=(\chi_{\mathrm{m}}+1)\mu_0\vec{H},

相对磁导率

μr=χm+1,\mu_{\mathrm{r}}=\chi_{\mathrm{m}}+1,

磁导率

μ=μrμ0,\mu=\mu_{\mathrm{r}}\mu_0,

于是

B⃗=μH⃗.\vec{B}=\mu\vec{H}.

铁磁质

电磁感应和电磁场

Faraday电磁感应定律

电磁感应现象

Faraday电磁感应定律

Faraday电磁感应定律：

E=−dΨdt,\mathscr{E}=-\frac{\mathrm{d}\varPsi}{\mathrm{d}t},

其中全磁通Ψ\varPsi为各匝线圈的磁通量之和。特别地，若各匝线圈磁通量均为Φ\varPhi，则Ψ=NΦ\varPsi=N\varPhi又称为磁链，此时

E=−NdΦdt.\mathscr{E}=-N\frac{\mathrm{d}\varPhi}{\mathrm{d}t}.

楞次定律

楞次定律：感应电流的效果总是反抗引起它的原因。

动生电动势和感生电动势

动生电动势

在电磁感应现象中，单纯由导体运动（而磁场不变化）产生的感应电动势称为动生电动势，其表达式为

dE=(v⃗×B⃗)⋅l⃗.\mathrm{d}\mathscr{E}=(\vec{v}\times\vec{B})\cdot\vec{l}.

感生电动势

导体固定不动，导体回路所在位置处的磁场随时间变化所产生的感应电动势称为感生电动势，其表达式为

E=−∫S∂B⃗∂t⋅dS⃗.\mathscr{E}=-\int_S\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\vec{S}.

Maxwell提出假设：变化的磁场在周围激发电场E⃗I\vec{E}_{\mathrm{I}}，这种电场称为感生电场，感生电动势

E=∮lE⃗I⋅dl⃗,\mathscr{E}=\oint_l\vec{E}_{\mathrm{I}}\cdot\mathrm{d}\vec{l},

总的感应电动势

E=∮l(v⃗×B⃗+E⃗I)⋅dl⃗,\mathscr{E}=\oint_l(\vec{v}\times\vec{B}+\vec{E}_{\mathrm{I}})\cdot\mathrm{d}\vec{l},

感生电场

感生电场的Gauss定理：任取闭合曲面S⊆R3S\subseteq\mathbb{R}^3，有

∮SE⃗I⋅dl⃗=0,\oint_S\vec{E}_{\mathrm{I}}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=0,

即感生电场是无源场。

同时考虑静电场和感生电场，于是可得总电场的Gauss定理

∮∂SE⃗⋅dS⃗=1ε0∫Vρq dV,\oint_{\partial S}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho_q\ \mathrm{d}V,

总电场的环路定理

∮∂SE⃗⋅dl⃗=−∫S∂B⃗∂t⋅dS⃗.\oint_{\partial S}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=-\int_S\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\vec{S}.

涡电流及电磁阻尼

自感与互感

自感

线圈的全磁通正比于电流，称比例系数为线圈的自感(系数)，即

L=ΨI.L=\frac{\varPsi}{I}.

对于非铁磁质，自感与线圈的形状、大小、匝数、周围磁介质的情况有关。对于确定的线圈和非铁磁质的磁介质，自感为常量。

自感电动势

EL=−LdIdt,\mathscr{E}_L=-L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t},

由此可得自感的另一种定义

L=−EL/dIdt.L=-\mathscr{E}_L\left/\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\right..

互感

对于彼此靠近的两线圈，线圈22的全磁通正比于线圈11的电流，称该比例系数为两回路间的互感(系数)，即

M=Ψ2I1.M=\frac{\varPsi_2}{I_1}.

同时也有线圈11的全磁通正比于线圈22的电流，且这两个比例系数相等，即

M=Ψ2I1=Ψ1I2.M=\frac{\varPsi_2}{I_1}=\frac{\varPsi_1}{I_2}.

于是互感电动势

E2=−MdI1dt, E1=−MdI2dt.\mathscr{E}_2=-M\frac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t},\ \mathscr{E}_1=-M\frac{\mathrm{d}I_2}{\mathrm{d}t}.

磁场的能量和能量密度

电感线圈的能量

Em=12LI2E_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2}LI^2

也成为自感磁能。

磁场的磁能密度

ρEm=12B⃗⋅H⃗.\rho_{E_\mathrm{m}}=\frac{1}{2}\vec{B}\cdot\vec{H}.

Maxwell方程组 电磁波

位移电流

Ampère环路定理不适用于非稳定电流。为了将其推广到非稳定电流，定义位移电流密度

J⃗d=∂D⃗∂t\vec{J}_{\mathrm{d}}=\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}

和位移电流

Id=∫SJ⃗d⋅dS⃗.I_{\mathrm{d}}=\int_S\vec{J}_{\mathrm{d}}\cdot\mathrm{d}\vec{S}.

定义全电流密度

J⃗s=J⃗c+J⃗d,\vec{J}_{\mathrm{s}}=\vec{J}_{\mathrm{c}}+\vec{J}_{d},

其中J⃗c\vec{J}_{\mathrm{c}}是传导电流密度，定义全电流

Is=Ic+Id,I_{\mathrm{s}}=I_{\mathrm{c}}+I_{\mathrm{d}},

其中IcI_{\mathrm{c}}是传导电流。

Ampère环路定理的普遍表达式

普遍意义的Ampère环路定理：

∮∂SH⃗⋅dl⃗=∫S(J⃗c+∂D⃗∂t)⋅dS⃗.\oint_{\partial S}\vec{H}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=\int_S\left(\vec{J}_{\mathrm{c}}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}\right)\cdot\mathrm{d}\vec{S}.

Maxwell方程组

Maxwell方程组的积分形式为

{∮∂VD⃗⋅dS⃗=∫Vρq dV∮∂SE⃗⋅dl⃗=−∫S∂B⃗∂t⋅dS⃗∮SB⃗⋅dS⃗=0∮∂SH⃗⋅dl⃗=Ic+∫S∂D⃗∂t⋅dS⃗,\begin{cases} \oint_{\partial V}\vec{D}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\int_V\rho_q\ \mathrm{d}V\\ \oint_{\partial S}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=-\int_S\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\\ \oint_S\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=0\\ \oint_{\partial S}\vec{H}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=I_{\mathrm{c}}+\int_S\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\vec{S} \end{cases},

微分形式为

{∇⋅D⃗=ρq∇×E⃗=−∂B⃗∂t∇⋅B⃗=0∇×H⃗=J⃗c+∂D⃗∂t,\begin{cases} \nabla\cdot\vec{D}=\rho_q\\ \nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\\ \nabla\cdot\vec{B}=0\\ \nabla\times\vec{H}=\vec{J}_{\mathrm{c}}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t} \end{cases},

对于各向同性的介质，有

{D⃗=εE⃗B⃗=μH⃗J⃗c=σE⃗,\begin{cases} \vec{D}=\varepsilon\vec{E}\\ \vec{B}=\mu\vec{H}\\ \vec{J}_{\mathrm{c}}=\sigma\vec{E} \end{cases},

对于运动的带电粒子，有电磁力

F⃗L=qE⃗+qv⃗×B⃗.\vec{F}_{\mathrm{L}}=q\vec{E}+q\vec{v}\times\vec{B}.

电磁波

真空一维电磁波的微分形式

∂2E⃗∂x2=ε0μ0∂2E⃗∂t,\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial x^2}=\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t},

由此可知波速

c=1ε0μ0.c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}.

介质中波速

v=1εμ,v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}},

定义介质的折射率

n=cv=εrμr.n=\frac{c}{v}=\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}\mu_{\mathrm{r}}}.

空间中电磁波的能量密度

ρE=εE2=B2μ，\rho_E=\varepsilon E^2=\frac{B^2}{\mu}，

单位时间内通过波传播方向上单位面积的电磁波的能量叫做电磁波的能流密度

S=wv=EH,S=wv=EH,

定义能流密度矢量S⃗\vec{S}大小为SS，方向为传播方向，于是

S⃗=E⃗×H⃗,\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H},

称为Poynting矢量。对于简谐电磁波，一个周期内的平均能流密度

S‾=12E0H0,\overline{S}=\frac{1}{2}E_0H_0,

其中E0,H0E_0,H_0分别为电矢量和磁矢量的振幅。通常将电磁波的平均能流密度称为电磁波的强度。

超导

超导体的物理特性

BCS理论简介

Josephson效应

超导在技术中的应用