大学物理-近代物理

Written by: Joyce-Peng-GitHub

大学物理-近代物理

狭义相对论力学基础

狭义相对论的基本原理

力学相对性原理、绝对时空观和Galilei变换

Einstein相对性原理和光速不变原理

Michelson-Morley实验证明，无论如何改变实验条件，在惯性系下测出光速在真空中的传播速率为恒定值 $c$ 。

Einstein建立狭义相对论的两条公理：
- Einstein相对性原理：对包括电磁规律在内的所有物理规律，不同惯性系都是等价的，不存在任何特殊的惯性系。
- 光速不变原理：在所有惯性系中，光在真空中传播的速率都等于 $c$ 。

相对论时空效应

空间和时间的测量

时间延缓

长度收缩

同时性的相对性

Lorentz变换

Lorentz变换的推导

设 $S'$ 系相对于 $S$ 系以沿 $x$ 轴方向的速度 $u$ 运动，则Lorentz变换式为

\begin{cases} x'=\gamma(x-ut)\\ y'=y\\ z'=z\\ t'=\gamma\left(t-\frac{\beta}{c}x\right) \end{cases},

其中 $\beta=\frac{u}{c}$ ，Lorentz因子 $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$ 。Lorentz变换的矩阵形式为

\begin{bmatrix} x'\\ y'\\ z'\\ \mathrm{i}ct' \end{bmatrix} =\alpha \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ \mathrm{i}ct \end{bmatrix},

其中Lorentz变换矩阵

\alpha= \begin{bmatrix} \gamma & & & \mathrm{i}\beta\gamma\\ & 1\\ & & 1\\ -\mathrm{i}\beta\gamma & & & \gamma \end{bmatrix}.

利用Lorentz变换验证相对论时空效应

Minkowski空间

相对论速度变换

相对论动力学基础

相对论动量和能量

相对论质量

m=\gamma m_0,

其中 $m_0$ 为静质量。

相对论动量

\vec{p}=m\vec{v}.

相对论修正的牛顿第二定律：

\vec{F}=\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=m\vec{a}+\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\vec{v}.

质能关系

相对论动能

E_{\mathrm{k}}=mc^2-m_0c^2,

因此定义相对论能量（总能量）

E=mc^2,

静能量

E_0=m_0c^2.

相对论能量和动量的关系

E^2=E_0^2+(cp)^2.

广义相对论简介

广义相对论基本原理

广义相对论的几大实验验证

微观粒子的波粒二象性

黑体辐射普朗克能量子假设

黑体辐射

一定温度下，黑体的总辐射出射度可由各单色辐出度对波长积分得到，即

M=\int_0^{+\infty}M_\lambda\ \mathrm{d}\lambda.

Planck黑体辐射定律：

M_{\lambda}=\frac{2\pi c^2h}{\lambda^5\left(\exp\left(\frac{ch}{\lambda k_{\mathrm{B}}T}\right)-1\right)}.

Planck能量子假设：将黑体分子视作简谐振子时，其能量

E=n\varepsilon\ (n\in\mathbb{N}^*),

其中

\varepsilon=h\nu

称为能量子，其中 $\nu$ 是简谐振子的频率。

光电效应 Einstein光量子理论

光电效应

光电效应的实验规律：
- 设光照频率一定。对于一定的光强，光电流随着加速电压增大而增大，并收敛到一定值，称为饱和光电流；光强越大，饱和光电流越大。饱和光电流反映单位时间从阴极逸出的光电子数量。
- 对于一定频率的光照，当加速电压逐渐减小并反向时，光电流并不立即降为 $0$ ，而是当 $U\leq-U_{\mathrm{c}}$ 时才为 $0$ ，将此 $U_{\mathrm{c}}$ 称为*截止/遏止电压*。截止电压与光照频率呈正线性关系，与照射光强无关。截止电压反映光电子的最大初动能，即
  $U_{\mathrm{c}}e=\frac{1}{2}m_{\mathrm{e}}v_{\mathrm{m}}^2.$
- 截止频率 $U_{\mathrm{c}}\propto(\nu-\nu_{\mathrm{c}})\ (\nu\geq\nu_{\mathrm{c}})$ ，将 $\nu_{\mathrm{c}}$ 称为*截止/红限频率*，将相应的波长 $\lambda_{\mathrm{c}}=\frac{c}{\nu_{\mathrm{c}}}$ 称为*截止/红限波长*。
- 光电效应具有瞬时性。无论光强怎样微弱，只要入射光频率大于截止频率，从光照在金属表面上到光电子逸出的时间不超过 $1\ \mathrm{ns}$ 。

Einstein光量子理论

受Planck能量子假设启发，Einstein假设光束是光量子构成的粒子流，每个光量子的速度都为 $c$ ，能量

\varepsilon=h\nu,

其中 $\nu$ 为光的频率。金属中的电子吸收一个入射光子后获得其全部能量，一部分用于克服金属正离子的束缚（称为逸出功 $W$ ），剩余部分成为光电子的初动能，于是最大初动能

\frac{1}{2}m_{\mathrm{e}}v_{\mathrm{m}}^2=h\nu-W,

截止频率

\nu_{\mathrm{c}}=\frac{W}{h}

光的强度 $I$ 定义为单位时间照射到光传播方向上的单位面积的能量，于是频率为 $\nu$ 的光的强度

I=\rho_Nc\cdot h\nu,

其中 $\rho_N$ 是单位体积内的光子数。

当光照射到某些半导体材料上被吸收时，材料有时不向外发射光子，而是内部激发导电的载流子，使材料的电导率显著增加，这种现象称为内光电效应；为与之区分，将光照射到金属表面产生逸出表面的光电子的现象称为外光电效应；将把光照射到某些物质上从而引起物质的电性质发生变化的光致电变现象统称为光电效应。

光的波粒二象性

由相对论有

\varepsilon=h\nu=mc^2,

于是光子的相对论质量

m=\frac{h\nu}{c^2}=\frac{h}{c\lambda},

相对论动量

p=mc=\frac{h\nu}{c}=\frac{h}{\lambda}.

于是描述波动性的频率和波长可以通过Planck常量与描述粒子性的动量、质量和能量联系起来。

Compton效应

定义粒子的Compton波长为

\lambda_{\mathrm{C}}=\frac{h}{m_0c},

其中 $m_0$ 为粒子的静质量。

Compton效应：当波长为 $\lambda_0$ 的光照射在有自由电子的材料（如石墨）上时，出射光中除波长为 $\lambda_0$ 的成分外，还有波长为 $\lambda$ 的成分，其中散射角 $\varphi$ 处的波长偏移量

\Delta\lambda=\lambda-\lambda_0=\lambda_{\mathrm{C}}(1-\cos\varphi),

其中 $\lambda_{\mathrm{C}}$ 为电子的Compton波长。波长为 $\lambda_0$ 的光照强度随 $\varphi$ 的增加而减小，波长为 $\lambda$ 的光照强度随 $\varphi$ 的增加而增加。

Compton效应的光量子理论解释

当光子与静止电子碰撞时，散射光子沿与入射方向呈 $\varphi$ 角的方向射出，电子则向入射方向另一侧反冲。由动量和能量守恒即可得到上式。

氢原子光谱 Bohr的氢原子理论

氢原子光谱

广义Blmer/Rydberg公式：氢原子光谱可用波长的倒数描述为

\sigma=R_{\infty}\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right)\ (m,n\in\mathbb{N}^*,\ m<n),

其中 $R_{\infty}$ 称为Rydberg常量。特别地， $m=1$ 的谱线系称为Lyman系， $m=2$ 的谱线系称为Balmer系， $m=3$ 的谱线系称为Paschen系， $m=4$ 的谱线系称为Brackett系， $m=5$ 的谱线系称为Pfund系。

Bohr的氢原子理论

Bohr氢原子理论的三条基本假设：
- 定态假设：一个原子系统能够并且只能经常地处在一系列相应于分立能量值 $E_n\ (n\in\mathbb{N}^*)$ 的状态，在这些状态，虽然电子绕核运转，但并不辐射电磁波，这些状态称为原子系统的定态。
- 频率条件：只有当电子从一个较高能量的轨道向一个较低能量的轨道跃迁时才发射辐射，反之吸收辐射。所吸收或发射的光子的频率 $\nu$ 与初态能量 $E_{\mathrm{i}}$ 和末态能量 $E_{\mathrm{f}}$ 的关系为
  $h\nu=|E_{\mathrm{f}}-E_{\mathrm{i}}|.$
- 角动量量子化假设：电子在以速度 $v$ 在半径为 $r$ 的圆周上绕核运动时，只有当电子的角动量 $L=rm_{\mathrm{e}}v$ 等于约化Planck常量 $\hbar=\frac{h}{2\pi}$ 的整数倍时，这个圆周轨道才是稳定的，即
  $L=rm_{\mathrm{e}}v=\hbar n\ (n\in\mathbb{N}^*).$

从这三条基本假设出发，可得氢原子的能量公式

E_n=-\frac{m_{\mathrm{e}}e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2}\cdot\frac{1}{n^2}\ (n\in\mathbb{N}^*).

式中， $n$ 只能取正整数，称为主量子数。 $n=1$ 时，氢原子的能量取到最小值，称为基态能量，其值 $E_1\approx-13.6\ \mathrm{eV}$ ； $n>1$ 的能级状态称为激发态。由此可得Rydberg常量

R_{\infty}=\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\frac{m_{\mathrm{e}}e^4}{4\pi ch^3}.

同理可得类氢离子（即核外只有一个电子的离子）的能量公式

E_n=-\frac{m_{\mathrm{e}}e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2}\cdot\frac{Z^2}{n^2}\ (n\in\mathbb{N}^*),

其中 $Z$ 是原子核的核电荷数。

粒子的波动性 Born的统计解释

de Broglie波

一切物质都具有波动性，称为*de Broglie/物质波*其波长

\lambda=\frac{h}{p},

其中 $p$ 为物质的相对论动量。

de Broglie波的实验验证

Davisson-Germer实验

G. P. Thompson的实验

电子衍射实验。

Jönsson实验

电子单缝、双缝衍射实验。

Crommie实验

将铁原子在铜表面上排列呈圆环形量子围栏，在围栏内观察到电子驻波图形。

Born的统计解释

概率波

波函数

在量子力学中，为了反映微观粒子的波粒二象性，可以用波函数 $\varPsi(\vec{r},t)$ 描述其运动状态。波函数本身没有直接的物理意义，其模的平方 $|\varPsi|^2=\varPsi^*\varPsi$ 为粒子出现的概率密度，其中 $\varPsi^*$ 表示 $\varPsi$ 的共轭复数。

波函数的标准条件：
- 单值
- 有限
- 连续
- 归一：
  $\int_{\mathbb{R}^3}|\varPsi|^2\ \mathrm{d}V=1.$
态叠加原理：若波函数列 $\{\varPsi_n\}_{n=1}^{+\infty}$ 代表体系的一系列不同的可能状态，则其线性组合
$\varPsi=\sum_{n=1}^{+\infty}C_i\varPsi_i$
也是该体系的一个可能状态，其中 $\forall n\in\mathbb{N}^*\ (C_n\in\mathbb{C})$ 且
$\sum_{n=1}^{+\infty}|C_n|^2=1.$

自由粒子的波函数

\varPsi=\varPsi_0\exp\left(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}(Et-\vec{p}\cdot\vec{r})\right).

由于其动量确定，故其位置完全无法确定。

不确定关系

速度与动量的不确定关系

\begin{cases} \Delta x\cdot\Delta p_x\geq\frac{\hbar}{2}\\ \Delta y\cdot\Delta p_y\geq\frac{\hbar}{2}\\ \Delta z\cdot\Delta p_z\geq\frac{\hbar}{2} \end{cases},

能量与时间的不确定关系

\Delta E\cdot\Delta t\geq\frac{\hbar}{2},

能级自然宽度与寿命的不确定关系

\varGamma\cdot\tau\geq\frac{\hbar}{2}.

Schrödinger方程及其应用

Schrödinger方程

自由粒子Schrödinger方程

在量子力学中，把对波函数进行某种运算或作用的符号称为算符。

几种物理量的算符：
- 位置算符 $\hat{r}=\vec{r}$
- 动量算符 $\hat{p}=-\mathrm{i}\hbar\nabla$
- 角动量算符 $\hat{l}=\hat{r}\times\hat{p}$

一般情况下的Schrödinger方程

\mathrm{i}\hbar\frac{\partial\varPsi}{\partial t}=\hat{H}\varPsi,

其中Hamilton算符（Hamiltonian）

\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U,

其中 $U$ 为势能。

定态Schrödinger方程

如果势能 $U$ 只与位置有关而与时间无关，，则可以将 $\varPsi$ 分离为位置函数和时间函数的乘积，进而解得Schrödinger方程的特解

\varPsi=\psi\exp\left(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}Et\right),

代入Schrödinger方程得定态Schrödinger方程

\hat{H}\psi=E\psi,

其中 $E$ 是粒子得总能量。

一维方势阱中的粒子

一维无限深方势阱中的粒子

设势能为

U= \begin{cases} 0 & (0<x<a)\\ +\infty & (\text{otherwise}) \end{cases},

则可解出定态波函数

\psi_n= \begin{cases} \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\pi\frac{n}{a}x\right) & (0<x<a)\\ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases}\ (n\in\mathbb{N}^*),

定态本征能量值

E_n=\left.\left(\pi\frac{n}{a}\hbar\right)^2\right/(2m)\ (n\in\mathbb{N}^*),

定态动量大小

p_n=\sqrt{2E_nm}=\pi\frac{n}{a}\hbar\ (n\in\mathbb{N}^*).

一维势阶中的粒子

设势能为

U= \begin{cases} 0 & (x<0)\\ U_0 & (x>0) \end{cases},

其中 $U_0$ 为常量。设粒子能量 $E<U_0$ ，则可以解出

\psi= \begin{cases} I\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_1x}+R\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k_1x} & (x<0)\\ T\mathrm{e}^{-k_2x} & (x>0) \end{cases},

其中

k_1=\frac{\sqrt{2Em}}{\hbar},\ k_2=\frac{\sqrt{2(U_0-E)m}}{\hbar},

反射振幅

R=\frac{\mathrm{i}k_1+k_2}{\mathrm{i}k_1-k_2}I,

透射振幅

T=\frac{2\mathrm{i}k_1}{\mathrm{i}k_1-k_2}I.

一维方势垒势垒贯穿

简谐振子

设一个质量为 $m$ 的粒子在围绕坐标原点做一维简谐运动，则其势能函数

U=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}m\omega^2x^2,

代入定态Schrödinger方程得一元变系数常微分方程

\frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}x^2}+\frac{2m}{\hbar^2}\left(E-\frac{1}{2}m\omega x^2\right)\psi=0,

利用幂级数可解出其波函数。频率 $\nu=\frac{\omega}{2\pi}$ ，于是其能级公式为

E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)h\nu\ (n\in\mathbb{N}).

特别地，称 $n=0$ 的状态为基态， $E_0=\frac{1}{2}h\nu$ 称为零点能，即围观得简谐振子永远不能静止不动。

经典力学认为简谐振子在平衡位置附近出现概率最小，但在基态时粒子在平衡位置出现的概率密度最大。

原子中的电子

氢原子

重要结论：
- 能量量子化：解Schrödinger方程时，由波函数的标准条件可得
  $E_n=-\frac{e^2}{2a_0(4\pi\varepsilon_0)}\cdot\frac{1}{n^2}\ (n\in\mathbb{N}^*),$
  其中
  $a_0=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_{\mathrm{e}}e^2}$
  称为Hohr半径， $n$ 称为主量子数。
- 角动量量子化：电子运动的角动量的大小
  $L=\sqrt{l(l+1)}\hbar\ (l\in\mathbb{N},\ l<n),$
  其中 $l$ 称为*轨道/角量子数*。
- 角动量的空间取向量子化：角动量 $\vec{L}$ 在外磁场方向上的投影只能取
  $L_z=m_l\hbar\ (m_l\in\mathbb{Z},\ |m_l|\leq l),$
  其中 $m_l$ 称为轨道磁量子数。
- 电子的概率分布

Stern-Gerlach实验和电子自旋

Stern-Gerlach实验

电子磁矩和角动量的关系为

\vec{\mu}=-\frac{e}{2m_{\mathrm{e}}}\vec{L}.

电子自旋

电子自旋角动量的大小

S=\sqrt{s(s+1)}\hbar,

其中 $s$ 称为自旋磁量子数。电子的 $s=\frac{1}{2}$ ，因此在磁场方向的投影

S_z=m_s\hbar\ \left(m_s=\pm\frac{1}{2}\right),

其中 $m_s$ 称为电子的自旋磁量子数。电子的自旋磁矩

\vec{\mu}_s=-\frac{e}{m_{\mathrm{e}}}\vec{S}.

由于 $m_s=\pm\frac{1}{2}$ ，所以 $\vec{\mu}_s$ 在 $z$ 方向的投影也只能取

\mu_{s,z}=\pm\mu_{\mathrm{B}},

其中

\mu_{\mathrm{B}}=\frac{\hbar e}{2m_{\mathrm{e}}}

称为玻尔磁子。

一切微观粒子都有自旋。

根据自旋状态分类粒子：
- 自旋量子数为半整数的粒子称为Fermi子。Fermi子的排布必须服从Pauli不相容原理。
- 自旋量子数为整数的粒子称为Bose子。Bose子的不受Pauli不相容原理限制，一个单粒子态可以容纳多个Bose子，称为Bose凝聚。

四个量子数和原子的壳层结构

四个量子数

原子中电子的四个量子数：
- 主量子数 $n\in\mathbb{N}^*$
- 角量子数 $l\in\mathbb{N}\cap[0,n)$
- 磁量子数 $m_l\in\mathbb{Z}\cap[-l,l]$
- 自旋磁量子数 $m_s=\pm\frac{1}{2}$

Pauli不相容原理与能量最低原理

Pauli不相容原理

Pauli不相容原理：一个原子中不可能有多个电子处在同一量子状态。即在一个原子中不可能有两个电子具有完全相同的四个量子数。

能量最低原理

当原子处于基态即能量最低的状态时，每个电子趋向占据最低能级。

原子的壳层结构

徐光宪规律：能级高低以 $(n+0.7l)$ 确定。

大学物理-近代物理

狭义相对论力学基础

狭义相对论的基本原理

力学相对性原理、绝对时空观和Galilei变换

Einstein相对性原理和光速不变原理

相对论时空效应

空间和时间的测量

时间延缓

长度收缩

同时性的相对性

Lorentz变换

Lorentz变换的推导

利用Lorentz变换验证相对论时空效应

Minkowski空间

相对论速度变换

相对论动力学基础

相对论动量和能量

质能关系

相对论能量和动量的关系

广义相对论简介

广义相对论基本原理

广义相对论的几大实验验证

微观粒子的波粒二象性

黑体辐射 普朗克能量子假设

黑体辐射

光电效应 Einstein光量子理论

光电效应

Einstein光量子理论

光的波粒二象性

Compton效应

Compton效应

Compton效应的光量子理论解释

氢原子光谱 Bohr的氢原子理论

氢原子光谱

Bohr的氢原子理论

粒子的波动性 Born的统计解释

de Broglie波

de Broglie波的实验验证

Davisson-Germer实验

G. P. Thompson的实验

Jönsson实验

Crommie实验

Born的统计解释

概率波

波函数

自由粒子的波函数

不确定关系

Schrödinger方程及其应用

Schrödinger方程

自由粒子Schrödinger方程

一般情况下的Schrödinger方程

定态Schrödinger方程

一维方势阱中的粒子

一维无限深方势阱中的粒子

一维势阶中的粒子

一维方势垒 势垒贯穿

简谐振子

原子中的电子

氢原子

Stern-Gerlach实验和电子自旋

Stern-Gerlach实验

电子自旋

四个量子数和原子的壳层结构

四个量子数

Pauli不相容原理与能量最低原理

Pauli不相容原理

能量最低原理

原子的壳层结构

激光

激光的产生

激光的特性

激光的应用：激光冷却

黑体辐射普朗克能量子假设

一维方势垒势垒贯穿